命题：

【资料图】

如果平分一条线段，并在尾端加上一条线段，那么合成线段上的正方形与添加线段上的正方形之和，等于原线段一半上的正方形与一半加上添加线段上的正方形之和的二倍

已知：线段AB，点C是AB中点，延长AB至点D

求证：S正方形AD2+S正方形BD2=2S正方形AC2+2S正方形CD2

解：

过点C作CE⊥AB

（命题）

在CE上截CE=AC

（命题）

∵AC=BC

（已知）

∴AC=BC=CE

（公理）

连接AE，BE

（公设）

过点E作EF∥AD

（命题）

过点D作DF∥CE，与EF交点记为点F

（命题）

∵DF∥CE

（已知）

∴∠CEF+∠EFD=两直角

（命题）

∴∠BEF+∠EFD＜两直角

（公理）

∴延长EB，FD后将在点B，D所在一侧相交

（公理）

延长EB，FD，交点记为点G

（公设）

连接AG

（公设）

证：

∵CE=AC

（已知）

∴∠AEC=∠CAE

（命题）

∵CE⊥AB

（已知）

∴∟C是直角

（定义）

∴∠AEC=∠CAE=半个直角

（命题）

同理可证∠BEC=∠CBE=半个直角

∴∠AEB是直角

（公理）

∵∠CBE=∠DBG

（命题）

∴∠DBG=半个直角

（公理）

∵DF∥CE

（已知）

∴∠BDG=∟DCE

（命题）

∴∠BDG也是直角

（公理）

∴∠DGE=半个直角

（命题）

∴∠DBG=∠DGE

（公理）

∴BD=GD

（命题）

∵∠F=∟DCE

（命题）

∴∠F也是直角

（公理）

∴∠GEF=半个直角

（命题）

∴∠GEF=∠DGE

（公理）

∴EF=GF

（命题）

∵CE=AC

（已知）

∴S正方形AC2=S正方形CE2

（公理）

∴S正方形AC2+S正方形CE2=2S正方形AC2

（公理）

∵Rt△ACE中，S正方形AE2=S正方形AC2+S正方形CE2

（命题）

∴S正方形AE2=2S正方形AC2

（公理）

∵EF=GF

（已证）

∴S正方形EF2=S正方形GF2

（公理）

∴S正方形EF2+S正方形GF2=2S正方形EF2

（公理）

∵Rt△ACE中，S正方形EG2=S正方形EF2+S正方形GF2

（命题）

∴S正方形EG2==2S正方形EF2

（公理）

∵▱CDFE中，CD=EF

（命题）

∴S正方形EG2=2S正方形CD2

（公理）

∴S正方形AE2+S正方形EG2=2S正方形AC2+2S正方形CD2

（公理）

∵Rt△AEG中，S正方形AG2=S正方形AE2+S正方形EG2

（命题）

∴S正方形AG2=2S正方形AC2+2S正方形CD2

（公理）

∵Rt△ADG中，S正方形AG2=S正方形AD2+S正方形GD2

（命题）

∴S正方形AD2+S正方形GD2=2S正方形AC2+2S正方形CD2

（公理）

∵BD=GD

（已证）

∴S正方形AD2+S正方形BD2=2S正方形AC2+2S正方形CD2

（公理）

证毕

此命题在本卷中未被使用